RPCA: 画像の異常検知&教師データが不要!

産業分野では、画像から何かしら異常が起きてないかを検知するという異常検知のタスクが相当数存在します。

今日はそんな異常検知の手法として代表的な手法であるRPCAについて説明します。

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概要

RPCA (Robust Principal Component Analysis: ロバスト主成分分析) とは、一言で言えば、データ行列を 「安定した共通パターン（背景）」と「突発的な変化（異常・異物）」に、数学の力でパカッと分離する手法 です。

名前に「ロバスト（頑健）」と付いているのは、従来のPCA（主成分分析）が「大きな外れ値（異常）」に弱かったという弱点を克服した手法だからです。

直感的なイメージ

監視カメラの映像を想像してください。

背景（L）: 動かない壁、床、ずっと点灯している照明。これらはどのフレームでも似たような情報の繰り返しです（低ランク性）。
動体（S）: たまに横切る不審者、床に落ちたゴミ、画面を横切るノイズ。これらは画面のごく一部にしか現れず、時間的にも一瞬です（スパース性）。

RPCAは、映像データ $M$ を入力すると、「背景だけの映像 $L$ 」と「動体だけの映像 $S$ 」に自動的に分解してくれます。

なぜ「ロバスト」なのか？（PCAとの違い）

従来のPCAは、最小二乗法（L2誤差）をベースにしています。

PCAの弱点: データに1つでも極端な外れ値（大きなキズやフラッシュなど）が混ざると、主成分がその外れ値に引っ張られてしまい、正しい背景が作れなくなります。
RPCAの強み: 「外れ値（ $S$ ）」を最初から変数として分離するように設計されているため、大きな異常が含まれていても、それに惑わされずに正確な背景を抽出できるのです。

数学的な「仕分け」のルール

RPCAは以下の2つのルールを同時に守りながら計算を行います。

背景 $L$ はシンプルであれ（低ランク制約）:行列のランクを低く保つ＝「繰り返しの多いデータ」にする。
異常 $S$ はまばらであれ（スパース制約）:非ゼロの要素を少なくする＝「画面のほとんどが 0（真っ黒）」にする。

この2つを足すと元のデータに戻る（ $M = L + S$ ）というパズルの解を探すのが、RPCAという手法の本質です。

応用されている場所

ビデオ監視: 背景から歩行者や車両を抽出する。
外観検査: 金属や布の一定の模様（背景）から、微細なキズ（スパース成分）をあぶり出す。
顔画像処理: メガネや影（スパース成分）を取り除き、その人の本来の顔の骨格（低ランク成分）を復元する。
医用画像: ノイズだらけのMRI画像から、本来の組織構造を取り出す。

PCA VS RPCA

異常検知の手法としてはPCAに対して、改良されてものがRPCAになります。実際どの程度の威力となるかを確認してみようと思います。

実験で期待される結果は以下通りです。

PCA: 異常（キズ）も含めて平均をとってしまうので、復元画像に「うっすらキズ」が再現されてしまい、引き算してもキズが消えかかってしまいます。→くっきりとした検出や、周囲と見分けが難しい異常が検出されづらい
RPCA: L1正則化の力で、最初から「キズはゴミ箱（ $S$ ）へ、背景は箱（ $L$ ）へ」と厳密に分けるため、復元された背景が非常にクリーンになり、検知精度が上がります。

実装のポイントについて説明します。

1. データ構造の構築 (行列 $M$ への変換)

画像は通常2次元（縦×横）ですが、RPCA（IALM）ではデータを1つの行列 $M$ として扱います。

# (n_frames, size, size) の3次元配列を、(画素数, 枚数) の2次元行列に変換
M = np.array(frames).reshape(n_frames, -1).T

ポイント: 1枚の画像を「1本の長いベクトル」に引き伸ばし、それを横に並べています。
理由: こうすることで、 「全画像で共通するパターン（背景）」が行列の低ランク成分 として数学的に扱いやすくなります。

2. IALMアルゴリズムの肝

RPCAはIALMというアルゴリズムで実装されます。 IALMはLとSを交互更新を行うことで、LとSの分離を行うという手法です。

A. 背景 $L$ の更新（低ランク化）

L = svt(M - S + (1/mu) * Y, 1/mu)

処理: 今のデータから「異常 $S$ 」を引いたものに対し、 SVT（特異値しきい値演算） を適用します。
意図: ランク（情報の種類）を強制的に落とすことで、突発的な変化（キズ）を「背景」から追い出します。

B. 異常 $S$ の更新（スパース化）

S = soft_threshold(M - L + (1/mu) * Y, lam/mu)

処理: 今のデータから「背景 $L$ 」を引いた残差に対し、ソフトしきい値処理を適用します。
意図: L1正則化の力で、微小なノイズを 0 にし、「大きなズレ（異常）」だけを $S$ に残します。

C. ラグランジュ乗数 $Y$ と $\mu$ の更新

Y = Y + mu * (M - L - S) # ズレの蓄積
mu *= rho                # ペナルティの強化

意図: ループの後半になるほど「 $M = L + S$ 」という制約を厳しくし、正確に分解を完了させます。

3. PCA vs RPCA の比較ロジック

PCA の実装（Scikit-learn使用）

pca = PCA(n_components=2)
L_pca_flat = pca.inverse_transform(pca.fit_transform(M.T)).T

仕組み: データを「2つの主要な成分」だけで再現しようとします。
欠点: PCAは $S$ （異常）という逃げ道がないため、キズのデータも無理やり成分に含めてしまい、結果として背景 $L$ が汚れます。

RPCA の優位性

仕組み: 最初から「背景 $L$ 」と「異常 $S$ 」の2つの席を用意しています。
利点: キズは $S$ の席に座るため、背景 $L$ は純粋なまま保たれ、非常に高いコントラストで異常を分離できます。

# --- 3. メイン処理 ---
# ファイルパス
img_path = '<傷のある画像ファイル>'
mask_path = '<マスクデータ>'

# 画像読み込み (ダミー生成コードは削除しました)
img = cv2.imread(img_path, cv2.IMREAD_GRAYSCALE) / 255.0
# マスクが0/1画像の場合、0より大きい場所をTrueとする
gt_mask_raw = cv2.imread(mask_path, cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
gt_mask = gt_mask_raw > 0 

if img is None or gt_mask_raw is None:
    raise ValueError("画像の読み込みに失敗しました。パスを確認してください。")

patch_size = 8 * 4
M = image_to_patches(img, patch_size)

# PCA による検知 (同じインスタンスを使用)
pca_model = PCA(n_components=1)
low_rank_pca = pca_model.fit_transform(M.T)
L_pca_flat = pca_model.inverse_transform(low_rank_pca).T
S_pca_flat = np.abs(M - L_pca_flat)
S_pca_img = patches_to_image(S_pca_flat, img.shape, patch_size)

# RPCA による検知
L_rpca_flat, S_rpca_flat = ialm_rpca(M)
S_rpca_img = patches_to_image(np.abs(S_rpca_flat), img.shape, patch_size)

# --- サイズ調整 ---
h_res, w_res = S_pca_img.shape
gt_mask_cropped = gt_mask[:h_res, :w_res]

# 二値化マスクの作成 (閾値: 上位2%を異常とする)
thresh_pca = np.percentile(S_pca_img, 98)
mask_pca = S_pca_img > thresh_pca
thresh_rpca = np.percentile(S_rpca_img, 98)
mask_rpca = S_rpca_img > thresh_rpca

# --- 4. 評価 ---
def evaluate(gt, pred):
    p = precision_score(gt.flatten(), pred.flatten(), zero_division=0)
    r = recall_score(gt.flatten(), pred.flatten(), zero_division=0)
    f1 = f1_score(gt.flatten(), pred.flatten(), zero_division=0)
    return p, r, f1

p_pca, r_pca, f1_pca = evaluate(gt_mask_cropped, mask_pca)
p_rpca, r_rpca, f1_rpca = evaluate(gt_mask_cropped, mask_rpca)

# --- 5. 可視化 ---
titles = ["Original (Cropped)", "GT Mask", "PCA Result", "RPCA Result"]
imgs = [img[:h_res, :w_res], gt_mask_cropped, mask_pca, mask_rpca]

plt.figure(figsize=(16, 4))
for i in range(4):
    plt.subplot(1, 4, i+1)
    plt.imshow(imgs[i], cmap='gray')
    plt.title(titles[i])
    plt.axis('off')
plt.show()

print(f"[PCA]  Precision: {p_pca:.3f}, Recall: {r_pca:.3f}, F1: {f1_pca:.3f}")
print(f"[RPCA] Precision: {p_rpca:.3f}, Recall: {r_rpca:.3f}, F1: {f1_rpca:.3f}")

実験結果

上記コードで実際に異常検知してみました。

PrecisionとRecallで評価しましたが、どちらもRPCAが有利だったという結果です。

パラメータをより適切に選定することで検出精度はさらに向上します。

そして・・・。

ニューラルネットワークとの違いは、この間に教師データと呼ばれる正解データを一切使っていません。アルゴリズムの力だけで異常を背景から分離したということになります。

[PCA]  Precision: 0.037, Recall: 0.851, F1: 0.071
[RPCA] Precision: 0.044, Recall: 1.000, F1: 0.084

resulut

結論

学習データなしで、画像での背景と異常を分離する手法としてRPCAについて説明しました。事前に教師データを使う必要がなく、画像における背景と異常を分離する(アンミキシングと呼ばれたりします)ということで便利な手法です。

本論では触れていないのですが、使う際の前提として結構厳しい、画像の中は低ランクな背景と、スパースな異常で構成されているはずだ、という前提条件を満たしている必要があるため、いつもうまくいく手法ではありません。

この点を踏まえて利用してみてください。

暇さえあればアルゴリズムいじり

暇があればアルゴリズムいじり

Obsessed with algorithms whenever I have a free moment.

概要

応用されている場所

PCA VS RPCA

1. データ構造の構築 (行列 $M$ への変換)

2. IALMアルゴリズムの肝

A. 背景 $L$ の更新（低ランク化）

B. 異常 $S$ の更新（スパース化）

C. ラグランジュ乗数 $Y$ と $\mu$ の更新

3. PCA vs RPCA の比較ロジック

PCA の実装（Scikit-learn使用）

RPCA の優位性

実験結果

結論

Obsessed with algorithms whenever I have a free moment.

概要

応用されている場所

PCA VS RPCA

1. データ構造の構築 (行列 MM への変換)

2. IALMアルゴリズムの肝

A. 背景 LL の更新（低ランク化）

B. 異常 SS の更新（スパース化）

C. ラグランジュ乗数 YY と μ\mu の更新

3. PCA vs RPCA の比較ロジック

PCA の実装（Scikit-learn使用）

RPCA の優位性

実験結果

結論

1. データ構造の構築 (行列 $M$ への変換)

A. 背景 $L$ の更新（低ランク化）

B. 異常 $S$ の更新（スパース化）

C. ラグランジュ乗数 $Y$ と $\mu$ の更新